MATRIKS

Transformasi Linier Definisi : F : v ↔ w ; v dan w Ruang Vektor . F disebut Transformasi Linear jika memenuhi 2 Aksioma berikut. ∀ u,v ∈ v dan k skalar 1) F(u+v) = F(u) + F(v) 2) F(ku) = k.F(u) Contoh : 1) Diketahui F : R² ↔ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y, x-y, 2xy) merupakan Transformasi Linear ? Jawab : Misal u,v ∈ R² u = (x₁,y₁) v = (x₂,y₂) k skalar 1) F(u+v) = F(u) + F(v) Ruas Kiri F(u+v) = F( (x₁,y₁) + (x₂,y₂) )            = F ( x₁+x₂ , y₁+y₂ )            = ( (x₁+x₂) + (y₁+y₂) , (x₁+x₂) - (y₁+y₂) , 2(x₁+x₂).(y₁+y₂) )            = ( (x₁+y₁) + (x₂+y₂) , (x₁-y₁) + (x₂-y₂) , 2x₁y₁ + 2x₂y₂ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )            = (  x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2x₁y₁ ) + ( x₂+y₂ , x₂-y₂ , 2x₂y₂ ) + ( 0 , 0 , 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )            ≠ F(u) + F(v) ...

Basis dan Dimensi Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk R n , yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier  . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V. Definisi Contoh : Misalkan p(x) = 2 – 3x + x 2  , q(x) = 1 + x – x 2  , r(x) = 5 – 5x + x 2  untuk setiap x real. Karena 2p + g – r = 0 maka {p, q, r} bergantung linier di P 2 Sifat   :   Definisi : Ruang vektor tak nol V dikatakan berdimensi hingga, jika V mempunyai basis yang hingga. Banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V disebut dimensi (V), disingkat dim(V). dimensi ruang vektor nol didefinisikan nol. Contoh : Dimensi ( Â n ) = n sebab memiliki basis yang terd...

Kombinasi Linier Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u 1 , u 2 ,…, u n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :                      x = k 1 u 1 + k 2 u 2 +… + k n u n dimana k 1 , k 2 ,…, k n adalah skalar   Contoh : Misalkan , u = [2,-1,3] T , v = [1,2,-2] T , apakah x = [8,1,5] T kombinasi linier dari u dan v . Jawab : Perhatikan kombinasi linier x = k 1 u +k 2 v        [8,1,5] T = k 1 [2,-1,3] T + k 2 [1,2,-2] T Dari kesamaan vektor diperoleh 2k 1 + k 2 = 8 -k 1 + 2k 2 = 1 3k 1 – 2k 2 = 5   Kebebasan Linier Andaikan S = { u 1 , u 2 ,…, u n } adalah himpunan vektor , S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :            ...

Ruang Vektor dan Ruang Bagian Posted by casperdilluna 29 Desember 2019 Posted in Tak Berkategori Ruang-n Euclides Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n- pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real ( x 1 , x 2 ,…, x n ). Himpunan semua n -pasangan bilangan berurut dinamakan ruang- n Eucides dan dinyatakan dengan R n . Definisi. Misalkan u =[ u 1 , u 2 ,…, u n ]; v =[ v 1 , v 2 ,…, v n ] vektor di R n . Ruang Vektor Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.   u + v = v + u    u +( v + w ) = ( u + v )+ w  Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0  Untuk setiap u di V terdapat  – u di V sehingga u +(- u ) = – u + u = 0  Jika k skalar dan u di V, maka k u berada di V  k( u + v ) = k u + k v  (k + l) u = k u + l u ...

Nilai Eigen ( )  adalah nilai karakteristik dari suatu  matriks  berukuran n x n, sementara vektor Eigen ( ) adalah  vektor kolom  bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. [1] [2]  Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan  elemen   bilangan real  dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa  bilangan kompleks . [1] [3]  Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. [1]  Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang  Matematika murni  dan  Matematika terapan  seperti  transformasi linear . [4] Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebu...

Cramer   adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan   sistem persamaan linear . Metode ini menggunakan   determinan   suatu   matriks   dan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah kanan persamaannya. Metode ini dinamai dari matematikawan   Swiss   Gabriel Cramer   (1704–1752) Kaidah Cramer tidak efisien untuk sistem dengan lebih dari dua atau tiga persamaan. [1]   Kaidah Cramer juga tidak stabil secara numerik, termasuk untuk sistem 2×2. [2] Berikut adalah sistem persamaan linear: Matriks persamaan ini adalah: Apabila   a 1 b 2   −   b 1 a 2   bukan nol, maka   x   dan   y   dapat dicari dengan menggunakan   determinan   matriks tersebut: Untuk matriks   3 × 3 , caranya sama: Persamaan ini dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut: Kemudian nilai   x, y   dan  ...