Ruang Vektor dan Ruang Bagian

Ruang Vektor dan Ruang Bagian

Posted bycasperdilluna
Posted inTak Berkategori
Ruang-n Euclides
Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn.
Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.
Ruang Vektor
Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :
  • Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.
  •  u+v = v+u 
  •  u+(v+w) = (u+v)+w
  •  Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0
  •  Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = –u+u =0
  •  Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V
  •  k(u+v) = ku + kv
  •  (k + l)u = ku + lu
  •  k(lu) = (kl)u
  •  1u = u
Membangun Ruang Vektor
Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V
Contoh 1 :
Apakah, u=[1,2,-1]T, v=[-2,3,3]T, w=[1,1,2]T membangun R3.
Jawab :
Andaikan x=[x1,x2,x3]T vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,
            x = k1u + k2v + k3w
[x1,x2,x3]T = k1[1,2,-1]T + k2[-2,3,3]T + k3[1,1,2]T
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier,
Contoh 2 :
Jika u = (2, 0, -1, 3) ; v = (5, 4, 7, -1) ; w = (6, 2, 0, 9)
Tentukan : a). v – (u+w) b).
b). x sehingga, 2u – v + x = 7x + w
J a w a b :
a). v – (u+v) = ( 5, 4, 7, -1) – {(2, 0, -1, 3) + (6, 2, 0, 9)} = (5, 4, 7, -1 ) – (8, 2, -1, 12) = (-3, 2, 8, 12)
b). x sehingga, 2u – v + x = 7x + w
2u – v + x = 7x + w
2(2, 0, -1, 3) – (5, 4, 7, -1, 3) + x = 7x + (6, 2, 0, 9)
(4, 0, -2, 6) – (5, 4, 7,-1) = 6x + (6, 2, 0, 9)
(-1, -4, -9, 7) – (6, 2, 0, 9) = 6x
(-7, -6, -9, -2) = 6x

Komentar

Posting Komentar