Persamaan Fungsi Kuadrat /Parabola

Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola

Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax2 + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a (+) maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a ( – ) maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum

Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp )
dengan :

Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimum
Yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum

B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y = ax2 + bx + c ) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya….

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya… bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )
dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :

C. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

1. Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y = ax2 + bx + c

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

2. Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x1 , 0 )dan ( x2 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – x1 ).( x – x2 )

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

3. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x1 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – x1 )2
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

4. Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – xp )2 + yp
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

D. Hubungan Kurva Persamaan Kuadrat / Parabola dan Persamaan Garis Lurus

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c sedangkan persamaan garis y = mx + n

Untuk menentukan hubungannya maka fungsi juadrat kita samakan dengan persamaan garis

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + bx – mx + c – n = 0

ax2 + (b – m)x + c – n = 0

Ada 3 macam hubungan fungsi kuadrat dan garis

1. Berpotongan di dua titik : D > 0

.    ax2 + (b – m)x + c – n = 0

.    D > 0

.    B2  – 4AC > 0

.    maka (b – m)2 – 4a(c – n) > 0

2. Bersinggungan D = 0

.    ax2 + (b – m)x + c – n = 0

.    D = 0

.    B2  – 4AC = 0

.    maka (b – m)2 – 4a(c – n) = 0

3. Tidak berpotongan : D < 0

.    ax2 + (b – m)x + c – n = 0

.    D < 0

.    B2  – 4AC < 0

.    maka (b – m)2 – 4a(c – n) < 0

Contoh soal 1 :

Agar parabola y = x2 – 7x + 2n  dan garis y = x + n + 5 berpotongan di dua titik. Nilai n yang memenuhi adalah …

Jawab :

x2 – 7x + 2n = x + n + 5

x2 – 8x+ n – 5 = 0

D > 0

b2 – 4ac > 0

(-8)2 – 4.1.(n – 5) > 0

64 – 4n + 20 > 0

-4n > -84

n < 21